ArbitraryPrecisionArithmetik

ArbitraryPrecisionArithmetik bezeichnet die Berechnung mit Zahlen beliebiger Genauigkeit, bei der Größe und Genauigkeit nicht durch feste Maschinengenauigkeit, sondern durch den verfügbaren Speicher begrenzt sind. Typische Objekte sind ganze Zahlen, rationale Zahlen und Gleitkommazahlen mit frei wählbarer Präzision. In der Praxis werden Zahlen als Sequenzen von Ziffern oder limb-Blöcken in einer internen Basis dargestellt, was exaktes Rechnen auch bei sehr großen Zahlen ermöglicht.

Für die Rechenoperationen werden spezialisierte Algorithmen eingesetzt. Grundoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division basieren auf langsamen oder effizienten Varianten, darunter Karatsuba, Toom-Cook und FFT-basierte Multiplikationen. Weitere Algorithmen decken Größen-, Rest- und Modulare Arithmetik, GCD oder Faktorisierung ab. Bei Fließkommaarten mit beliebiger Genauigkeit werden Rundungsmodi, Genauigkeitsziele und Fehlerabschätzungen berücksichtigt, wodurch kontrollierte Fehlertoleranz entsteht. Gegenüber festen Gleitkommatypen bietet Arbitrary-Precision-Arithmetik exakte Ergebnisse oder gezielt begrenzte Rundungsfehler.

Bekannte Implementierungen und Bibliotheken ermöglichen diese Rechenarten in vielen Programmiersprachen. GMP, MPIR und MPFR liefern Basistexakte bzw. exaktes, korrekt gerundetes Floating-Point-Verhalten. Sprachenstandardbibliotheken bieten Typen wie Pythons int, Java BigInteger/BigDecimal oder C++ Boost.Multiprecision. Anwendungen finden sich in Kryptografie (RSA, ECC), numerischer Analysis, Computer-Algebra-Systemen, Primalitätstests und exakten Finanzberechnungen.