Maschinengenauigkeit

Maschinengenauigkeit ist ein Begriff der numerischen Mathematik, der die Zuverlässigkeit von Berechnungen auf digitalen Rechnern beschreibt. Sie bezeichnet die kleinste relative Differenz, die zwischen zwei arithmetischen Ergebnissen noch unterschieden werden kann. Formal wird oft das Maschinenepsilon ε verwendet: die kleinste Zahl, mit der 1 + ε größer als 1 ist. In binärer Fließkommadarstellung variiert ε je nach Format; bei IEEE 754 Double precision beträgt es etwa 2,22 × 10^-16, bei Single precision etwa 1,19 × 10^-7. Manchmal wird auch der Wert u als halbes Maschinenepsilon angegeben.

Maschinengenauigkeit ist eine Eigenschaft des Zahlensystems und des Rundungsverhaltens der verwendeten Rechenoperationen. Sie bestimmt, wie groß der maximale relative Rundungsfehler bei einer einzelnen Operation ist. Runden, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division führen zu Fehlern, deren Größe durch ε begrenzt wird. In der Praxis hängt der effektive Fehler auch von der Größenordnung der Operanden ab; besonders problematisch sind Subtraktionen ähnlicher Zahlen (Cancellation).

Die Verlässlichkeit numerischer Ergebnisse hängt zusätzlich von der Kondition eines Problems ab: selbst bei perfekter Maschinenpräzision kann ein schlecht konditioniertes Problem große Fehler liefern. Umgekehrt kann ein gut konditioniertes Problem mit relativ kleinen ε-Streuungen stabile Ergebnisse liefern.

Die Abschätzung der Maschinengenauigkeit erfolgt durch Messung oder durch Bezug auf Standards (zum Beispiel FLT_EPSILON oder DBL_EPSILON in Programmiersprachen). In der Praxis wird sie zur Fehlerabschätzung herangezogen und beeinflusst das Design von Algorithmen: Varianten wie Kahan-Summation, Skalierung oder mehrfache Wiederholung helfen, Rundungsfehler zu reduzieren. Weiterhin wird oft mit Guard Digits gearbeitet, um Stabilität sicherzustellen.