Funktionsset

Der Begriff Funktionsset bezeichnet in der Mathematik die Gesamtheit aller Abbildungen zwischen zwei Mengen. Formal ist das Funktionsset von X nach Y die Menge F(X,Y) = { f: X → Y }. Die Elemente heißen Funktionen oder Abbildungen.

Notationen und Eigenschaften. Die Menge F(X,Y) wird auch als Map(X,Y) oder Hom(X,Y) bezeichnet. Falls X endlich ist mit |X| = n und Y mit |Y| = m, hat F(X,Y) genau m^n Elemente. Endomorphismen F(X,X) nennt man Endomorphismenmengen.

Beispiele. F({0,1}, R) besteht aus allen Abbildungen von zwei Punkten nach R; jedes Element entspricht einem Tupel (f(0), f(1)) ∈ R^2. Allgemein entspricht F(X,Y) dem Produkt Y^X. Die Menge der bijektiven Abbildungen Bij(X,Y) ist eine Teilmenge von F(X,Y).

Struktur und Operationen. Falls Y eine algebraische Struktur besitzt (zum Beispiel Vektorraum oder Ring), lassen sich Funktionen punktweise addieren und multiplizieren; dies führt zu einem Vektorraum bzw. Ring von Funktionen. Die Verkettung zweier Abbildungen f: X→Y und g: Y→Z liefert g∘f: X→Z, wodurch eine Abbildung F(X,Y) × F(Y,Z) → F(X,Z) definiert ist.

Anwendungen. Funktionssets dienen als Funktionsräume in Analysis und Topologie, in der Logik und Informatik als Modell von Funktionsimplementierungen. In der Kategorie-Theorie entsprechen Hom-Sets den Morphismen zwischen Objekten.