Funktionselemente

Funktionselemente, in der Mathematik, bezeichnet man die einzelnen Elemente des Graphen einer Funktion. Formal sei f: X → Y eine Funktion. Dann ist das Graph G = { (x, f(x)) | x ∈ X }. Jedes Paar (x, f(x)) heißt Funktionselement. Die Gesamtheit der Funktionselemente erfasst damit sowohl die Zuordnung von Domain- zu Codomain-Punkten als auch die Struktur der Funktion selbst.

Eigenschaften: Jedes x aus X hat genau ein zugeordnetes y = f(x). Die Menge der x-Koordinaten bildet die Domäne X, die Menge der y-Koordinaten die Bildmenge f(X). Die Funktionselemente bilden zusammen den Graphen der Funktion, der als Teilmenge von X × Y zu verstehen ist. In Abhängigkeit von Eigenschaften wie Injectivität oder Surjektivität spiegeln sich diese Merkmale zwar nicht direkt in einzelnen Elementen, wohl aber in der Gesamtheit der Graphpunkte wider.

Beispiele: Für f: {1, 2, 3} → {a, b, c} mit f(1) = a, f(2) = a, f(3) = c lauten die Funktionselemente (1, a), (2, a) und (3, c). Der Graph besteht aus genau diesen Paaren.

Bezug und Anwendungen: In der Analysis dient der Graph zur Visualisierung von Funktionen, zur Untersuchung von Stetigkeit und Konvergenz sowie zur Formulierung von Grenzwerten. In der Informatik kann der Graph einer Funktion als Menge von Paarelementen dargestellt werden, etwa in Form von Mapping-Datenstrukturen. In der Topologie wird der Graph als Teilraum von X × Y betrachtet, dessen Eigenschaften Aufschluss über Kontinuität und Struktur der Funktion geben können.

Abgrenzung: Funktionswerte f(x) sind die y-Koordinaten der Funktionselemente; die Domäne X und das Bild f(X) beschreiben die Mengen der x- bzw. y-Komponenten der Graphpunkte.