Funktionsapproximation

Funktionsapproximation bezeichnet in der Mathematik und Informatik den Prozess, eine Ziel-Funktion f definiert auf einer Menge D durch eine einfachere Funktion g aus einer festgelegten Funktionsklasse zu annähern. Ziel ist es, die Eigenschaften von f mit vertretbarem Aufwand zu beschreiben oder numerisch zu verwenden. Typische Klassen sind Polynome, Splines, Fourier- oder Wavelet-Funktionen, Radial-Basis-Funktionen, Kernmodelle oder neuronale Netze. Die Qualität der Approximation wird durch Abstände wie das Supremumsnorm, Lp-Normen oder das mittlere quadratische Fehlermaß MSE gemessen; je nach Anwendung variieren die Anforderungen.

In der Theorie unterscheidet man globale Approximationen, die auf dem gesamten Definitionsbereich arbeiten, von lokalen Verfahren. Wichtige Ergebnisse: Der Satz von Weierstrass besagt, dass jeder stetige Funktion auf einem kompakten Intervall durch Polynomfunktionen beliebig gut näherungsweise dargestellt werden kann; der Stone-Weierstrass-Satz generalisiert dies auf Unterräume von C(X). Die Konvergenzraten hängen von der Glattheit der Ziel-Funktion ab; Jacksonsche Ungleichungen liefern Abschätzungen der Rate.

Zu den gebräuchlichen Verfahren gehören Polynom- und trigonometrische Approximation (Taylor- und Fourier-Entwicklungen), Splines, interpolation, Regression und Regularisierung, sowie data-driven Modelle wie neuronale Netze. In der Praxis verbindet Funktionsapproximation numerische Effizienz, Stabilität und Eignung für Rauschen oder Messfehler. Anwendungen finden sich in der numerischen Lösung von Differentialgleichungen, Signalverarbeitung, Datenreduktion und Modellierung physikalischer Prozesse.