Funktionsanalys

Funktionsanalys är en gren av matematisk analys som studerar rum av funktioner och de linjära operatorer som verkar mellan dessa rum. Den fokuserar på strukturer som normerade rum, Banachrum och Hilbertrum samt på begrepp som kontinuitet, konvergens och obundna operatorer. Genom att abstrahera funktioners beteende i olika rum ger funktionsanalys verktyg för att analysera problem inom många delar av matematik och tillämpningar.

Centrala objekt är funktionella rum där mätningar definieras av normer eller inre produkter. Viktiga exempel är Lp-rummen, C(K) och Sobolevrum. Man studerar linjära operatorer mellan sådana rum, särskilt bundna linjära operatorer, deras adjungerade, samt spektrumet och olika typer av operatorer såsom kompakta, Fredholm och självadjungerade. Dualrum och representationsteorier spelar en stor roll; exempelvis Riesz-representationen inom Hilbertrum och Hahn–Banach-teoremet som möjliggör förlängning av funktionaler.

Viktiga teorems och tekniker inom fältet inkluderar Banach–Alaoglu-satsen om svag kompaktitet, satsen om öppen kartläggning och satsen om sluten graf. Spektral teori för normal- och självadjungerade operatorer utgör en central del, liksom funktionalkalkyler och semigruppteori som används för att behandla tidsberoende problem. Analytiska verktyg som interpolation och distributionsteori kopplar samman funktionsanalys med andra grenar av analys.

Funktionsanalys har breda tillämpningar inom partiella differentialekvationer, kvantmekanik, signalbehandling och numerical analysis. Den tillhandahåller både teoretiska grunder och praktiska metoder för att studera vågor, diffusion och tidsberoende processer genom ramverk som semigruppteori och Sobolev-ramverk. Fältet utvecklades under 1900-talet av bland andra Stefan Banach och David Hilbert, och har fortsatt att influera många områden inom matematik och ingenjörsvetenskap.