Fullständighetstest

Fullständighetstest är ett begrepp inom statistik som rör egenskapen hos en statistikfunktion T(X) med avseende på en given parameterfamilj. En statistic är komplett om den enda funktion g such that E_theta[g(T(X))] = 0 för alla parametervärden theta är identiskt noll (utom eventuella nollradiga funktioner). Med andra ord finns det inga icke-nullla funktioner av T som har väntad värde noll för alla theta. Egenskapen används för att säkerställa unika resultat när man vill göra inferens baserad på en given komplett statistic.

Fullständighet används ofta tillsammans med sufficiens i teoretiska resultat, framför allt i Lehmann–Scheffé-satsen, som säger att en obundet, obetingat estimator som är funktion av en komplett och tillräcklig statistic är den bästa estimatorn i sin klass. På så sätt elimineras problem med icke-optimalitet när man vet att statistiken är komplett.

Typiska sätt att uppnå eller visa fullständighet är att arbeta inom en en-parameterig exponentialfamilj där den naturliga statistiken T har fri parameterrym med öppen mängd och där stödet inte beror på theta. Exempelvis är X_bar från i.i.d. normalfördelade observationer med känd varians komplett för mu, och summan av i.i.d. Poissonobservationer är komplett för lambda.

Det bör noteras att fullständighet inte alltid uppnås. Om parameterutrymmet eller stödet beror på theta, eller om den använda statistiken inte är fullständig, kan egenskapen saknas. Det finns inget allmänt praktiskt “test” för fullständighet; egenskapen bevisas vanligtvis analytiskt genom derivationer av förväntningar över parameterfamiljen. I empiriska studier kan simulering användas som en indikation, men det utgör inte ett formellt test.