Flächenträgheitsmomente

Flächenträgheitsmomente, auch Flächenmomente der Trägheit genannt, sind geometrische Größen einer Fläche im Ebenenbereich, die die Verteilung der Fläche relativ zu einer bestimmten Achse beschreiben. Sie sind materialunabhängig; nur die Form der Fläche spielt eine Rolle. Die wichtigsten Größen sind Ix und Iy, definiert als Ix = ∫ y^2 dA und Iy = ∫ x^2 dA, jeweils gemessen um eine horizontale bzw. vertikale Referenzachse. Das polare Flächenträgheitsmoment J, das sich auf eine Achse senkrecht zur Fläche bezieht, ergibt sich als J = Ix + Iy. Flächenträgheitsmomente beziehen sich auf einen festen Referenzpunkt; man unterscheidet centroidale Momente (um Achsen durch den Schwerpunkt) und Momente um externe Achsen.

Eigenschaften und Berechnung: Flächenträgheitsmomente hängen stark von der Achse ab. Sie ändern sich bei einer Verschiebung der Achse nach dem Parallelachsatz: I = Ic + A d^2. Bei Wahl der Hauptachsen erhält man die maximalen bzw. minimalen Werte. Für einfache Querschnitte lassen sich Ix, Iy und J aus Standardformeln ableiten; für zusammengesetzte Querschnitte addieren sich die Momente der Teilflächen, ggf. unter Berücksichtigung des Parallelachsatzes.

Typische Formeln und Anwendungen: Rechteck mit Breite b und Höhe h hat centroidale Ix = b h^3 / 12 und Iy = h b^3 / 12. Kreisradius r hat Ix = Iy = π r^4 / 4; das polare Moment J = π r^4 / 2. In der Strukturmechanik bestimmen Flächenträgheitsmomente die Biegelinie und die maximalen Biegespannungen, da σ = M y / I, und die Biegeantwort durch EI bestimmt wird (E: Elastizitätsmodul). Für zusammengesetzte Querschnitte addiert man die Einzelmomente, ggf. unter Anwendung des Parallelachsatzes.