FiniteVolumenAnsätzen

FiniteVolumenAnsätzen (FVM) sind numerische Verfahren zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen, insbesondere von Erhaltungsgleichungen in der Strömungsmechanik. Der Berechnungsraum wird in eine endliche Anzahl von Kontrollvolumen (Zellen) zerlegt. In jedem Kontrollvolumen wird die Erhaltung der entsprechenden Größe durch Flüsse durch die Zelloberflächen ausgedrückt, sodass die zeitliche Änderung der volumen-averaged Größe durch den Nettofluss über die Zellgrenzen bestimmt wird.

Die Formulierung basiert auf der integrierten Form der Erhaltungsgleichungen. Man integriert die PDE über jedes Zellenvolumen und wendet den Divergenzsatz an, wodurch sich die zeitliche Änderungsrate der inneren Größe mit den Flüssen an den Zellfugen verbindet. Für hyperbolische Probleme werden Flüsse an Zellfugen oft mit Riemann-Solvern oder deren approximativen Methoden berechnet (z. B. Godunov-, Roe-, HLLC-Solver).

Zeitliche Diskretisierung erfolgt in der Regel explizit oder implizit. Die Stabilität wird häufig durch die CFL-Bedingung gesteuert, die eine maximale erlaubte Zeitschrittgröße festlegt.

Ordnung und Rekonstruktion: FVM kann in erster Ordnung (Upwind) arbeiten und durch rekonstruktive Verfahren wie MUSCL mit Slopes-Limitern zu höherer Ordnung entwickelt werden, um spuriöse Oszillationen zu vermeiden. In höherwertigen Varianten werden rekonstruierten Variablen an Zelloberflächen verwendet, um Flüsse zu approximieren.

Netzstrukturen: Finite-Volumen-Methoden arbeiten auf strukturierten oder unstrukturierten Netzen. Sie unterstützen verschiedene Zellentypen (z. B. Würfel bzw. Hexaeder, Tetraeder) und eignen sich gut für komplexe Geometrien. In der Praxis werden Quellterme, Viskosität und Turbulenzmodelle integriert.

Anwendungen und Eigenschaften: FVM bieten lokale Erhaltung und robuste Schockauflösung, was sie zur bevorzugten Wahl in der numerischen Strömungsmechanik macht. Herausforderungen sind numerische Dissipation, Diffusion und der Umgang mit Grenzbedingungen sowie die Kopplung mit Turbulenzmodellen. Für inkompressible Strömungen kommen häufig Druckkorrektur- bzw. Projectionstechniken zum Einsatz.