FiniteDifferenceVerfahren

FiniteDifferenceVerfahren ist ein numerisches Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen durch Diskretisierung des Differentialoperators mit endlichen Differenzen auf einem räumlichen (und ggf. zeitlichen) Gitter. Aus der kontinuierlichen Gleichung wird ein System von algebraischen Gleichungen über die Gitterpunkte abgeleitet, das zusammen mit Rand- und Anfangsbedingungen gelöst wird.

Typische Differenzenverfahren verwenden Vorwärts-, Rückwärts- oder zentrale Unterschiede, um Ableitungen zu approximieren. Die zentrale Differenz liefert oft höhere Genauigkeit. Ein bekanntes Beispiel ist die eindimensionale Poisson-Gleichung d^2u/dx^2 = f(x) auf dem Intervall [a,b] mit Dirichletbedingungen. Durch die zentrale Differenz (u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1})/h^2 ≈ d^2u/dx^2 entsteht ein lineares Gleichungssystem mit einer tridiagonalen Matrix.

Bei zeitabhängigen Problemen, wie der Wärmeleitungsgleichung du/dt = α d^2u/dx^2, kombiniert das FD-Verfahren räumliche Differenzen mit einer zeitlichen Diskretisierung (z. B. Forward-Euler oder Backward-Euler). Explizite Schemata haben oft strikte Stabilitätsbedingungen (CFL-Bedingung); implizite Schemata sind in der Regel stabiler, benötigen aber die Lösung eines linearen oder nichtlinearen Systems pro Zeitschritt.

Die Zuverlässigkeit von FD-Verfahren beruht auf Konsistenz, Stabilität und Konvergenz (Lax-Theorem). Die Genauigkeit wird durch die Ordnungen der verwendeten Differenzen bestimmt, typischerweise erste oder zweite Ordnung in Raum und Zeit.

Anwendungsgebiete reichen von Strukturmechanik, Wärmeleitung, Elektrostatik bis hin zu Strömungsproblemen in einfachen Geometrien. Vorteile sind eine einfache Implementierung auf regelmäßigen Gittern; Limitationen betreffen komplexe Geometrien und adaptiv geformte Domänen, weshalb Finite-Elemente- oder Finite-Volumen-Verfahren in vielen Fällen bevorzugt werden.