Fatorial

O fatorial de um inteiro não negativo n, denotado por n!, é o produto de todos os inteiros de 1 até n. Por convenção, 0! = 1. Ex.: 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.

Para n ≥ 1, o fatorial satisfaz a relação de recorrência n! = n·(n−1)!. Consequentemente, o crescimento de n! é muito rápido. Não há uma fórmula simples que relacione (ab)! com a! e b!.

Extensão para números reais e complexos: a função gamma Γ(z) estende o fatorial. Para inteiros n ≥ 0, Γ(n+1) = n!. Assim, x! pode ser entendido como Γ(x+1) para números reais x > -1. A função Γ é definida por uma integral imprópria, Γ(z) = ∫_0^∞ t^{z−1} e^{−t} dt, e permite a generalização do fatorial além dos inteiros.

História e usos: a notação '!' foi introduzida por Christian Kramp em 1808. O fatorial é fundamental em combinatória para contar permutações e, por meio do coeficiente binomial, para contar combinações. Também aparece em séries de potências, em estatística e em várias fórmulas de probabilidade e crescimento exponencial.

Variações: existe o fatorial duplo (n!!), utilizado em diferentes contextos de contagem dependendo da paridade de n, bem como extensões adicionais do conceito via a função Γ para estudar propriedades analíticas e especiais.