Erikoisfunktiot

Erikoisfunktiot ovat matemaattisen analyysin funktioita, joita syntyy usein differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen sekä fysiikan ja tilastotieteen sovellusten yhteydessä. Niitä ei yleensä ole mahdollista esittää yksinkertaisilla elementaarifunktioilla, kuten polynomeilla, eksponentiaaleilla, logaritmeilla tai tavallisista trigonometristen funktioiden yhdistelmistä muodostettavilla lausekkeilla. Erikoisfunktioihin kuuluvat laajat perheet, kuten gamma- ja beta-funktiot, zeta-funktiot sekä hypergeometriset funktiot, sekä yksittäisiä funktioita kuten Bessel-, Legendre-, Hermite- ja Laguerre-funktiot sekä elliptiset ja theta-funktiot. Näitä funktioita voidaan määritellä monin tavoin: integraaliesitysten, sarjojen tai ratkaistujen differentiaaliyhtälöiden ominaisfunktionisuuksien kautta; niillä on usein ominaisuuksia kuten ratkaisuun liittyviä diff-lauseita, ja ne voivat olla ortogonaalisia tai muodostaa täydentäviä sarjoja eri väleillä.

Esimerkkejä: Gamma-funktio Γ(z) laajentaa kertolaskun käsitteen; sen arvo kohdassa n on Γ(n)=(n-1)!, kun n on positiivinen kokonaisluku. Bessel-funktiot Jν(x) ratkaisevat Besselin yhtälön; Legendre-funktiot Pℓ(x) esiintyvät pallomaisissa koordinaatistoissa. Hypergeometrinen funktio 2F1 on yleisfunktio, joka kattaa monia erikoistapauksia.

Sovelluksia on fysiikassa, tekniikassa, todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä. Erikoisfunktiot ovat sekä teoreettisen analyysin että numeerisen laskennan keskeisiä työkaluja; niihin liittyy usein rekursioita, sarjoja ja erikoisasymptottisia lauseita sekä erilaisia numeerisia laskentamenetelmiä.

Historia: termi "erikoisfunktiot" juontaa 1800-luvulle, jolloin tutkijat kohtasivat laajoja, ei-elementaarisia funktioita. Nykyisin ne nähdään laajana, toisiinsa kytkeytyneenä kokonaisuutena, jossa funktiot liittyvät toisiinsa transformaatioiden ja yhtälöiden kautta.