Erikoisfunktioihin

Erikoisfunktiot ovat matemaattisia funktioita, joita ilmenee ratkaistaessa ongelmia, joissa tavalliset suljetut muodot eivät riitä. Niitä käytetään laajalti analyysissä, differentiaali- ja integraalilaskennassa sekä sovelluksissa fysiikassa ja tilastotieteessä. Usein erikoisfunktiot eivät esiinny pelkästään polynomien tai algebrallisten lausekkeiden avulla, vaan niiden ominaisuuksiin ja käyttäytymiseen viitataan erikoisella terminologialla, kuten sarjoilla ja integroinneilla.

Merkittäviä esimerkkejä ovat Gamma- ja Beta-funktio sekä virhefunktio erf. Bessel-, Neumann- sekä Legendre-, Hermite- ja Laguerre-funktiot muodostavat tärkeitä perheitä, joilla on erityisiä ortogonaalisuuden ominaisuuksia tietyissä funktioavaruuksissa, sekä laskennallisia ja sovelluksellisia merkityksiä. Monia näistä funktioista voidaan esittää hypergeometrisina funktioina, ja ne ovat yhteydessä toisiinsa erilaisten funktioiden kautta.

Ominaisuuksiin kuuluvat yleisesti lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisut, ortogonaalisuus sekä generating function -lausekkeet. Monilla erikoisfunktioilla on integrointi- ja sarjaesityksiä sekä tunnettuja asymptottisia lausekkeita suurilla argumenteilla tai suurilla kertaluvuilla, joiden avulla niiden käyttäytymistä voidaan analysoida.

Sovelluksia on fysiikassa (kvanttimekaniikka, elektromagnetismi), tilastotieteessä (jakautumien muototeot ja muunnelmat), signaalin käsittelyssä sekä muissa matemaattisissa malleissa. Useat ohjelmistot ja kirjastot tarjoavat valmiita funktioiden numeerisia arvoja, mikä helpottaa erikoisfunktioiden käyttöä nykyaikaisissa laskennallisissa töissä.