logaritmeilla

Logaritmit ovat eksponentiaalifunktioiden käänteisiä. Logaritmilla log_b(x) tarkoitetaan sellaista eksponenttia y, jolla b^y = x, kun x > 0 ja b > 0, b ≠ 1. Toisin sanoen logaritmi kertoo, kuinka monta kertaa luvun b on kerrottava saadakseen luvun x.

Kantaluku ja notation määrittävät logaritmin tyypin. Yleisimpiä ovat base 10 (dekadinen logaritmi, log10 tai log), base e (luonnollinen logaritmi, ln) sekä base 2 (käytetään usein tietotekniikassa). Muutkin baseet ovat mahdollisia, ja niiden käyttö riippuu kontekstista.

Ominaisuudet ja yhtälöt. Logaritmit toteuttavat seuraavat peruslait: log_b(1) = 0 ja log_b(b) = 1. Lukujen kanssa ne noudattavat sääntöjä log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y), log_b(x^p) = p log_b(x) sekä log_b(x/y) = log_b(x) − log_b(y). Koska logaritmit ovat eksponentiaalifunktion kääteisiä, niiden käänteinen funktio on b^y = x. Muunnokset toiseen logaritmijärjestelmään käyvät change-of-base -kaavalla: log_b(x) = log_k(x) / log_k(b).

Rajat, monotonisuus ja kaavat. Domain on x > 0. Jos b > 1, log_b(x) on kasvaen; jos 0 < b < 1, se laskee. Tämä liittyy suoraan käänteisyyteen eksponentiaalifunktioiden kanssa. Piirteet tekevät logaritmeista hyödyllisiä suurten lukujen skaalaamiseen ja kertolaskujen korvaamiseen yhteenlaskuilla.

Käyttökohteet ja historia. Logaritmeilla on laajat sovellukset tieteissä, insinöörityössä ja tilastotieteessä: mitta-asteikot (desibelit), pH-arvo, talousgrafiikat ja datan skaalaus. Historialtaan logaritmit kehittivät 1600-luvulla John Napier ja Henry Briggs kertolaskujen helpottamiseksi; luonnollinen logaritmi sai keskeisen aseman analysissa ja differentiaalilaskennassa.