Gammafunktio

Gammafunktio on kompleksisen muuttujan z määrittelemä funktio, joka laajentaa faktoriaalin käsitteen. Sen arvoja merkitään Γ(z). Gammafunktio voidaan määritellä seuraavalla integraalilla: Γ(z) = ∫_0^∞ t^{z-1} e^{-t} dt, pätee Re z > 0.

Se täyttää rekursiivisen yhtälön Γ(z+1) = z Γ(z). Tämä antaa yhteyden kokonaislukujen faktoriaaleihin: n! = Γ(n+1). Gammafunktio on meromorfinen koko kompleksilukujen kannalta; sillä on yksinkertaiset singulariteetit 0, -1, -2, ..., eikä Γ ole määritelty näissä pisteissä.

Beta-funktio liittyy gammafunktioon: B(p,q) = ∫_0^1 t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt = Γ(p) Γ(q)/ Γ(p+q). Heijastuskaava: Γ(z) Γ(1 - z) = π / sin(π z).

Lisäksi on mainittuja ominaisuuksia: Stirlingin lause antaa suurien z arvojen approksimaation Γ(z) ~ √(2π) z^{z-1/2} e^{-z} (kun |arg z| < π). Eulerin tuote: 1/Γ(z) = z e^{γ z} ∏_{n=1}^∞ (1 + z/n) e^{-z/n}, γ on Euler–Mascheronin vakio.

Sovelluksia: gammafunktio esiintyy todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä (esim. gamma-jakauma), sekä monien erityisten funktioiden ja analyyttisen muunnoksen tutkimuksessa. Gammafunktio on keskeinen työkalu sekä teoriassa että sovelluksissa.