Epäkonveksit

Epäkonveksit ovat matematiikassa ja geometriassa käytetty termi, jolla tarkoitetaan joukkoja tai aluerakenteita, jotka eivät täytä konveksisuuden määritelmää. Joukko S ⊆ R^n on konveksi, jos kaikille x,y ∈ S ja kaikille t ∈ [0,1] lineaarinen yhdistelmä (1−t)x + t y kuuluu S:ään. Epäkonveksit ovat tällaisia joukkoja, joissa on löydettävä pistepari x,y ∈ S ja arvo t ∈ (0,1) siten, että (1−t)x + t y ∉ S. Toisin sanoen lineaarinen yhdistelmä kahden pisteen välillä ei aina säilytä joukossa.

Epäkonveksit voivat ilmetä monin tavoin: ne voivat muodostua kahdesta tai useammasta erillisestä osasta, niissä voi olla reikiä tai reuna voi mutkitella. Yleisessä mielessä epäkonveksit ovat vesivaikutteisia, koska niiden sisäinen suoran yhdistelmän kvalitatiivisesti poistuminen S:stä paljastaa niiden rakenteen monimutkaisuuden. Epäkonveksisuus voi olla sekä paikallista että globaalia; joissakin tapauksissa osa S:stä on konveksi, mutta koko joukko ei.

Tyypillisiä esimerkkejä ovat kahdesta erillisestä ympyräalueesta muodostuva joukko, renkaan kaltaiset alueet tai muun muotoiset kappaleet, joilla on mutkikkaita reunoja. Konveksin vastakohtana epäkonveksit voivat vaikuttaa optimointi- ja sovellusskenaarioissa siten, että löytää paras ratkaisu voi olla haastavampaa kuin konveksissa tapauksissa (paikalliset optimaalit voivat olla yleisiä). Epäkonveksien käsittelyssä käytetään usein konveksien hullien tai aukkojen käsittelyn menetelmiä sekä heuristiikkoja.

Epäkonveksien käsite liittyy läheisesti konveksisuuteen, konveksijoukkoihin ja konveksisiin funktioihin sekä niiden sovelluksiin geometriassa, optimoinnissa ja tietojenkäsittelytutkimuksessa.