konveksisuuteen

Konveksisuuteen viittaa matematiikassa käsite konveksijoukko ja konveksifunktio. Se kuvaa, miten yhdistetyt pisteet ja arvot pysyvät muodossaan tietyssä asetuksessa.

Konveksijoukko tarkoittaa avaruuden J^n osan, jossa jokainen jano kahden pisteen välillä kuuluu kokonaisuudessaan joukkoon. Tarkemmin: joukko C ⊆ R^n on konveksijoukko, jos kaikille x,y ∈ C ja kaikille t ∈ [0,1] jana tx + (1−t)y on myös C:ssä. Esimerkkejä: suora, jana, suora jana, ympyrä, pallo, polytopit ja muut yksittäiset tasot ovat konveksijoukkoja. Ei-konveksina pidetään esimerkiksi rengasta tai epäyhtenäisesti muodostuneita muotoja, joissa jokin jana ulottuu kahdesta pisteestä mutta ei kokoaan kuulu.

Konveksin kuoren: konveksihoukkojen kokonaistietäjä on pienin konveksijoukko, joka sisältää annetun joukon. Konveksihukojen käytössä korostuvat käsitekonveksihulut ja Carathéodory’n teoreema, jotka liittyvät ilmaisuihin pisteistä konveksifunktioina.

Konveksifunktio f: D ⊆ R^n → R on sellainen, että D on konveksijoukko ja jokaiselle x,y ∈ D sekä t ∈ [0,1] pätee: f(tx + (1−t)y) ≤ t f(x) + (1−t) f(y). Epigraph: epi(f) = { (x, α) : α ≥ f(x) } on konveksijoukko. Tärkeä seuraus on että sublevel-setit { x : f(x) ≤ α } ovat konveksijoukkoja.

Ominaisuudet ja sovellukset: konveksijoukkojen leikkaus on konveksijoukko, ja positiivinen yhdistelmä konveksifunktioista on konveksia. Jensenin epäyhtälö ja konveksisuus ovat keskeisiä työvälineitä optimoinnissa. Konveksiastrategiat liittyvät erityisesti konveksiseen optimointiin ja lineaariseen ohjelmointiin, joissa optimit löytyvät usein helposti ja globalisesti.

Yhteenveto: konveksisuus yhdistää geometrian ja analyysin tarjoamalla rakenteen, jolla paljon ongelmia voidaan käsitellä tehokkaasti ja luotettavasti. Konveksijoukoilla ja konveksifunktioilla on laaja käyttöalue muun muassa optimoinnissa, taloustieteessä ja tekniikassa.