Konveksijoukko

Konveksijoukko on matematiikan käsite, jota käytetään erityisesti vektoritiloissa. Yleistettynä se on joukko C V:ssä siten, että jokainen kahden pisteen x ja y välillä oleva lineaarinen välimenkki kuuluu joukkoon. Näin sanotaan tarkemmin: C on konveksijoukko, jos kaikille x, y ∈ C ja kaikille t ∈ [0,1] pätee tx + (1 − t)y ∈ C. Toisin sanoen kumpikin pisteen x ja y konknaivinen yhdistelmä on kokonaan joukossa.

Kohtaista ja merkitystä: konveksijoukon käsite mitoilla voidaan laajentaa monissa tiloissa. Usein puhutaan konveksista yhdistämisestä: mihin tahansa joukkoon kuuluvien pisteiden kaikkien konveksin yhdistelmien kuuluu olla joukossa. Tämä johtaa konveksin sulkemiseen ja konveksin hajasuun rauh se. Merkittäviä ominaisuuksia ovat: kaikkien konveksien joukkojen leikkaus on konveksijoukko, sekä minkowskisen summan A+B (kaikki a+b missä a∈A, b∈B) on konveksijoukko. Jokainen konveksijoukko on polku- ja yhteydellinen tilassa, sillä kaksi pistettä voidaan yhdistää suora linjanam kymmen.

Esimerkkejä: koko tila V on konveksijoukko, jokin avara pallo tai suljettu pallo R^n:ssa, puolisuuntainen ympyrä, polytoppi ja eri pisteiden konveksin hila (konveksikokoelmasta saadut) kaikki ovat konveksijoukkoja. Ympyrä rengas ei ole konveksijoukko, mutta sen sisäpuoli on.

Sovelluksia ja yhteydet: konveksit funktiot liittyvät konvekseihin joukkoihin sekä optimoinnissa, jossa ongelmat ovat usein konveksia ja ratkaisut löytyvät helpommin. Keskeisiä käsitteitä ovat konveksisuus, konveksihila ja tukifunktio, sekä erottamisteoriat, jotka koskevat erottamista konveksijoukkojen välillä hyperalagikoilla.