epäyhtälö

Epäyhtälö on matematiikassa käytetty lause, joka sisältää epäyhtälömerkin (<, >, ≤ tai ≥) ja jonka totuus riippuu muuttujan arvoista. Toisin kuin yhtälö, jonka ratkaisut ovat tarkka arvo, epäyhtälö määrittelee joukon arvoja, jotka täyttävät ehdon. Ratkaisujoukko voidaan esittää interval- tai kuvaamalla koordinaatistossa ja usein myös inter val notationin avulla.

Yleisiä muotoja ovat lineaariset epäyhtälöt, kuten ax + b < c tai ax + b ≤ c, sekä polynomiset tai rationaaliset epäyhtälöt, kuten x^2 − 3x < 2 tai |f(x)| ≤ a. Ratkaisujoukko voi olla yksittäinen intervalli, useita epäyhtälöitä yhdistäviä alueita tai tyhjä.

Ratkaiseminen perustuu perusperiaatteisiin: kun kertol tai jakaa sekä lauseketta positiivisella luvulla, merkki pysyy samana; negatiivisella luvulla merkki kääntyy. Toimenpiteiden kuten neliöinti tai neliöjuuri on tehtävä harkiten, koska ne voivat muuttaa totuusarvoa; ne on tehtävä vain alkuperäisen epäyhtälön oikeellisuuden säilyttävästi tai erillisesti tarkistaen.

Esimerkkejä: x − 5 > 2 johtaa x > 7. 2x + 3 ≤ 7 johtaa x ≤ 2. (x − 3)^2 < 4 johtaa |x − 3| < 2, eli 1 < x < 5. Monimutkaisemmissa tapauksissa useamman muuttujan epäyhtälöt tuottavat ratkaisualueen, jonka yhtyminen antaa lopullisen kuvion.

Sovelluksia ovat optimointi, rajausehdot laskentamalleissa sekä erilaiset määrälliset mallit, joissa muuttujille asetetaan rajoitteita.