konveksifunktioista

Konveksifunktio on funktio, jonka kuvaajan yläpuolinen alue on konveksi joukko. Toisin sanoen, jos otetaan mitkä tahansa kaksi pistettä funktion kuvaajalla, niiden välinen jänne on kokonaan funktion kuvaajan yläpuolella tai sen päällä. Formaalisti funktio f on konveksi välillä I, jos kaikille x, y ∈ I ja kaikille t ∈ [0, 1] pätee: tf(x) + (1-t)f(y) ≥ f(tx + (1-t)y).

Konveksifunktioiden tutkiminen on tärkeää monilla matematiikan ja sovellettujen tieteenalojen, kuten optimoinnin, taloustieteen ja koneoppimisen aloilla. Konveksifunktioilla on ainutlaatuisia ominaisuuksia, jotka tekevät niistä erityisen hyödyllisiä optimointiongelmissa. Esimerkiksi konveksifunktion paikallinen minimi on aina sen globaali minimi.

Yksi tapa tarkistaa, onko funktio konveksi, on tarkastella sen toista derivaattaa. Jos funktion toinen derivaatta on ei-negatiivinen kaikissa tarkasteltavan välin pisteissä, funktio on konveksi tällä välillä. Esimerkiksi funktio f(x) = x^2 on konveksi, koska sen toinen derivaatta on 2, joka on positiivinen kaikille x. Samoin eksponenttifunktio f(x) = e^x on konveksi. Sen sijaan funktio f(x) = sin(x) ei ole konveksi koko reaaliakselilla, vaikka se onkin konveksi tietyillä väleillä.