Konveksifunktioilla

Konveksifunktioilla on tärkeä rooli matematiikassa, erityisesti optimoinnissa ja analyysissä. Yksinkertaisimmillaan konveksifunktio on funktio, jonka kuvaajan jokainen piste on kaikkien kuvaajan välisten janaosien alapuolella. Toisin sanoen, jos otetaan kaksi pistettä funktion kuvaajalta ja piirretään niiden välinen jana, tämä jana pysyy kokonaan funktion kuvaajan yläpuolella tai koskettaa sitä.

Matemaattisesti konveksifunktion määritelmä on seuraava: funktio f on konveksi välillä I, jos kaikilla x, y ∈ I ja kaikilla t ∈ [0, 1] pätee f(tx + (1-t)y) ≤ tf(x) + (1-t)f(y). Tämä epäyhtälö kuvaa juuri sitä ominaisuutta, että jana pisteiden (x, f(x)) ja (y, f(y)) välillä on funktion kuvaajan yläpuolella.

Konveksifunktioilla on useita hyödyllisiä ominaisuuksia. Esimerkiksi jatkuva konveksifunktio saavuttaa globaalin miniminsä, jos se saavuttaa sen. Tämä tekee konveksifunktioiden minimien etsimisestä helpompaa kuin yleisten funktioiden. Lisäksi kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio on konveksi, jos sen toinen derivaatta on ei-negatiivinen koko määrittelyjoukossaan. Tämä on usein käytännöllinen tapa tarkistaa funktion konveksisuus.

Konveksifunktioiden käsite on keskeinen monilla matematiikan ja tekniikan aloilla. Niitä käytetään laajasti optimointiongelmien ratkaisemisessa, koska konveksien ongelmien ratkaiseminen on usein huomattavasti tehokkaampaa kuin ei-konveksien. Esimerkiksi lineaarinen ohjelmointi perustuu konveksien joukkojen ja konveksien funktioiden ominaisuuksiin.