Endomorphismus

Ein Endomorphismus ist in der Mathematik ein Morphismus von einem Objekt zu sich selbst. In der Mengentheorie ist er einfach eine Abbildung f: X → X. In der Kategorientheorie wird die Menge aller Endomorphismen eines Objekts X oft mit End(X) bezeichnet; sie bildet die Endomorphismusstruktur des Objekts.

In algebraischen Strukturen bedeutet dies je nach Kontext:

- Für eine Gruppe G ist ein Endomorphismus eine Gruppenhomomorphismus f: G → G.

- Für einen Ring R ist ein Endomorphismus ein Ringhomomorphismus f: R → R.

- Für ein R-Modul M ist ein Endomorphismus eine R-lineare Abbildung M → M.

- Für einen Vektorraum V über einem Körper F sind End_F(V) alle F-linearen Abbildungen V → V; End_F(V) mit der Addition und der Verkettung bildet einen Ring, den End-Ring. Bei endlicher Dimension n ist End_F(V) isomorph zu der Ringmatrixalgebra M_n(F) nach Wahl einer Basis.

Automorphismen sind genau die invertierbaren Endomorphismen. Sie bilden eine Gruppe Aut(A) innerhalb von End(A). Im linearen Fall entsprechen sie invertierbaren linearen Abbildungen, also der Gruppe GL(n, F).

Eigenschaften und Beispiele: In einer endlichen Menge X umfasst End(X) alle Funktionen X → X; seine Größe ist |X|^{|X|}. Für Vektorräume ermöglicht eine Matrixdarstellung oft eine konkrete Beschreibung von End_F(V) als algebraische Struktur, insbesondere durch eine Basiswahl.