Embeddingräume

EmbeddingRäume bezeichnen in der Mathematik Räume, deren Elemente Abbildungen zwischen gegebenen Räumen oder Mannigfaltigkeiten sind, die als Einbettungen gelten. In der Differentialtopologie wird der Raum Emb(M,N) der glatten Einbettungen von einer Mannigfaltigkeit M in eine Mannigfaltigkeit N betrachtet. Eine Einbettung ist eine glatte Abbildung f: M → N, die injektiv ist, eine Immersion und eine Topologie-Embedding von M in N liefert; damit ist f ein Homöomorphismus von M auf sein Bild f(M) mit der Unterraumtopologie.

Der Embeddingraum Emb(M,N) wird typischerweise mit der Whitney- oder C∞-Topologie versehen, wodurch Emb(M,N) als Unterraum von C∞(M,N) erscheint. Diese Topologie ermöglicht es, Begriffe wie Konvergenz von Abbildungen und Homotopien im Raum der Einbettungen sinnvoll zu formulieren. Embeddingräume spielen eine zentrale Rolle in der Embedding-Theorie, der Knotentheorie und der Differentialtopologie, da sie die verschiedenen Platzierungsmöglichkeiten von M in N erfassen.

Wichtige Begriffe und Beispiele: Das Whitney-Einbettungstheorem besagt, dass jede glatte n-Mannigfaltigkeit in R2n eingebettet werden kann. In der Knotentheorie entspricht Emb(S^1, R^3) dem Raum der Einbettungen des Kreises in den dreidimensionalen Raum; die unterschiedlichen Pfadkomponenten geben Knotentypen wider. Allgemein werden Emb(M,N) und deren Homotopie-Typen genutzt, um Fragen nach Isotopien, Differeomorphismen-Gruppen und Stabilisierung von Embeddings zu untersuchen. Anwendungen finden sich in der Geometrie, der Theorie der Dynamik und der Formgebung von Raumstrukturen.