Pfadkomponenten

Pfadkomponenten sind ein zentraler Begriff der Topologie. Eine Pfadkomponente eines topologischen Raums X ist eine maximale pfadverknüpfte Teilmenge von X. Formal: Für einen Punkt x in X ist die Pfadkomponente P(x) die Menge aller Punkte y in X, zu denen es eine stetige Abbildung f von [0,1] nach X gibt mit f(0)=x und f(1)=y. Die Pfadkomponenten bilden eine Partition von X, d. h. jedes Element von X gehört zu genau einer Pfadkomponente.

Eigenschaften und Zusammenhang mit anderen Konzepten: Jede Pfadkomponente ist pfadverknüpft, und sie ist vollständig durch Pfade innerhalb von X verbunden. Pfadkomponenten liegen in Zusammenhangskomponenten (vermutete maximale zusammenhängende Teilmengen); im Allgemeinen ist eine Pfadkomponente stets Teil einer Zusammenhangskomponente. In lokaler Pfad-Verknüpfung gilt sogar: Pfadkomponenten und Zusammenhangskomponenten coinciden, d. h. sie stimmen überein. Ohne diese Bedingung können Pfadkomponenten von Zusammenhangskomponenten unterschieden sein; eine Raum kann zusammenhängend, aber nicht pfadverknüpft sein (Beispiel: der Topologischer-Sinus-Kurven-Raum).

Beispiele: Im reellen Geraden-Raum R ist der Raum path connected, daher gibt es eine einzige Pfadkomponente, nämlich ganz R. Der Cantor-Mengen-Raum ist total getrennt, daher bestehen die Pfadkomponenten aus einzelnen Punkten. Komplexere Beispiele zeigen Räume, in denen die Zusammenhangskomponenten größer sind als die Pfadkomponenten; ein zusammengesetzter Raum kann zusammenhängend, aber nicht pfadverknüpft sein.

Verwendung: Pfadkomponenten helfen, Pfadverknüpfungen und Pfade in Topologie zu analysieren, insbesondere im Zusammenhang mit Pfadverknüpfung, Homotopie und der Struktur von topologischen Räumen.