Elementsteifigkeiten

Elementsteifigkeiten sind in der Finite-Element-Methode die lokale Beziehung zwischen nodalen Kräften und den zugehörigen Verschiebungen eines Elements. Sie bilden die Elementsteifigkeitsmatrix K_e, die beim Aufbau der globalen Steifigkeitsmatrix K des Netzes in die Gesamtkonstruktion eingehen.

Herleitung und Form: Aus der linearen Elastizität gilt sigma = D epsilon und epsilon = B u, wobei D die Materialsteifigkeitsmatrix und B die Ableitungs- bzw. Verformungsbeziehung enthält. Die Elementsteifigkeitsmatrix ergibt sich als K_e = ∫_V B^T D B dV (bei Flächenelementen bzw. Raumelementen entsprechend der Dimensionsintegration). Für einfache 1D-Stäbe ist K_e beispielsweise so gegeben: K_e = (A E / L) [[1, -1], [-1, 1]].

Abhängigkeiten: K_e hängt von Materialparametern (Youngscher Modul E, Poissonzahl ν, ggf. Schubmodul G), Geometrie (Querschnittsfläche A, Länge L) und dem Typ des Elements ab. Bei Flächen- und Raumelementen kommen D und B sowie eine numerische Integration (z. B. Gauss-Quadratur) zum Einsatz.

Anwendung und Nutzung: Die Elementsteifigkeiten werden beim Assemblieren der globalen Steifigkeitsmatrix K addiert, sodass K u = f gelöst werden kann, um die nodalen Verschiebungen u zu bestimmen. Aus den Verschiebungen ergeben sich Spannungen, Dehnungen und Reaktionen.

Beispiele und Typen: Typische Elemente umfassen eindimensionale Stäbe, zweidimensionale Dreiecks- oder Viereckselemente sowie dreidimensionale Brick-Elemente. Balkenelemente (Euler-Bernoulli oder Timoshenko) liefern charakteristische 4×4- bzw. 6×6-Steifigkeitsmatrizen.

Eigenschaften: Für stabile lineare Elastizität sind K_e in der Regel symmetrisch und positiv semidefinit (mit Nullmoden aufgrund von Randbedingungen). Bei Nichtlinearitäten oder großen Verformungen kann K_e von Verschiebungen abhängen.