Materialsteifigkeitsmatrix

Die Materialsteifigkeitsmatrix, auch elastische Steifigkeitsmatrix genannt, ist in der linearen Elastizität eine zentrale Größe, die die Beziehung zwischen Spannung und Dehnung eines Materials beschreibt. Sie fasst die Steifigkeit eines Körpers in einem Materialtensor zusammen und ermöglicht die Vorhersage, wie sich das Material unter mechanischer Belastung verformt.

Mathematisch wird die Beziehung durch das 4. Ordnung Steifigkeitstensor Cijkl beschrieben: sigmai j = Cijkl εkl, wobei sigma die tensorielle Spannung und ε die Dehnung ist. Der Tensor Cijkl besitzt durch Zugehörigkeit zu konservierter Energie und durch die Symmetrien der Kräfte die sogenannten Minor- und Major-Symmetrien, was die Anzahl unabhängiger Konstanten reduziert. Für allgemein anisotrope Medien gibt es 21 unabhängige elastische Konstanten. In der Voigt-Dotation lässt sich die Beziehung in eine 6×6-Matrix Cij überführen, sodass sigmaI = Cij εJ gilt (I,J = 1…6).

Für isotrope Materialien vereinfacht sich die Matrix auf nur zwei unabhängige Konstanten, typischerweise die Lamé-Parameter λ und μ (mit μ auch als Schubmodul G bezeichnet). In Voigtnotation lautet die 6×6-Matrix then: C11 = C22 = C33 = λ + 2μ, C12 = C13 = C23 = λ, C44 = C55 = C66 = μ, während die restlichen Kopplungen Null sind. Die Parameter μ und λ hängen über E (Elastizitätsmodul) und ν (Poissonzahl) gemäß gängigen Beziehungen zusammen.

Anwendungen der Materialsteifigkeitsmatrix finden sich vor allem in der Festkörpermechanik, der Materialcharakterisierung und der Finite-Elemente-Methode, wo sie die Spannungs- und Dehnungsverläufe in Bauteilen beschreibt.