Einheitssphäre

Die Einheitssphäre, oft S^2 genannt, ist die Menge aller Punkte des euklidischen Raums, deren Abstand vom Ursprung gleich 1 ist. Im dreidimensionalen Raum R^3 gilt S^2 = { (x,y,z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1 }. Sie ist die Oberflächenseite der Einheitskugel B^3 und bildet eine kompakte, zusammenhängende und glatte Mannigfaltigkeit der Dimension 2. S^2 ist einfach zusammenhängend; ihre fundamentale Gruppe ist trivial. Der Flächeninhalt beträgt 4π.

Eine Standardparametrisierung erfolgt über Kugelkoordinaten: x = sinφ cosθ, y = sinφ sinθ, z = cosφ mit φ ∈ [0,π] und θ ∈ [0,2π). Geodätische Linien auf der S^2 entsprechen Großkreisen. Die Gruppe der Rotationen SO(3) wirkt transitiv auf S^2, das heißt, jedes Paar von Punkten kann durch eine Rotation verbunden werden.

Die Einheitssphäre lässt sich auch allgemein als S^{n-1} in R^n definieren; sie dient als grundlegendstes Beispiel einer kompakten, geschlossenen, glatten Mannigfaltigkeit mit konstanter Krümmung. Sie wird in vielen Bereichen verwendet: Geometrie, Physik, Computergrafik, Vermessung und als Modell für Kugelkoordinaten und Projektionen (z. B. stereografische Projektion).

Durch ihre einfache Struktur wird die Einheitssphäre häufig als Referenzfläche für Normalen, Abstands- und Längenberechnungen genutzt.