Dérivation

Dérivation peut désigner plusieurs notions selon le domaine. En mathématiques, la dérivation (ou différenciation) est l’opération qui associe à une fonction sa dérivée, mesurant le taux de variation instantanée. Pour une fonction réelle f définie sur un intervalle, la dérivée en un point x est la limite de (f(x+h) − f(x))/h lorsque h tend vers 0. Si cette limite existe, f est différentiable en x; une fonction peut l’être sur un intervalle. En plusieurs variables, on parle de dérivées partielles ∂f/∂x_i, de gradient ∇f et de dérivées directionnelles; le calcul des dérivées secondes conduit au Hessien.

Les règles de dérivation permettent d’obtenir rapidement les dérivées sans calcul direct de la limite: linéarité, produits et chaînes, dérivées successives; les dérivées successives mènent au développement de Taylor. Le théorème fondamental de l’analyse relie dérivation et intégration.

Plus largement, en algèbre, une dérivation est une application linéaire D d’une algèbre A vers un module M qui vérifie la règle de Leibniz D(ab) = a D(b) + D(a) b. Dans la géométrie différentielle, les dérivations de l’anneau des fonctions sur une variété correspondent à l’espace tangent; elles généralisent les opérateurs différentiels.

En linguistique, la dérivation est le processus de formation d’un mot par affixation ou modification morphologique, distinct de l’inflexion.

Histoire et applications: les idées de dérivation émergent avec Newton et Leibniz au XVIIe siècle et se sont étendues à la physique, l’ingénierie, l’économie et les sciences des données, où elles servent à modéliser les variations et les taux de changement.