Diffusionsprozesses

Diffusionsprozesse sind eine Klasse kontinuierlicher stochastischer Prozesse, die zufällige Dynamiken in zeitkontinuierlichen Modellen beschreiben. Sie zeichnen sich durch stetige Pfade aus und lassen sich oft durch stochastische Differentialgleichungen (SDEs) darstellen. In der eindimensionalen Form lautet eine gängige SDE: dX_t = μ(X_t, t) dt + σ(X_t, t) dW_t, wobei W_t ein Standard-Wienerprozess ist. Der Drift μ bestimmt die mittlere Tendenz der Entwicklung, die Diffusion σ die Größe der Zufallsfluktuationen.

In mehrdimensionaler Form lautet die SDE: dX_t = μ(X_t, t) dt + σ(X_t, t) dW_t, mit X_t ∈ R^d, W_t ∈ R^m und a = σ σ^T als Diffusionsmatrix. Der infinitesimale Generator L eines Diffusionsprozesses ist gegeben durch Lf = ∑ μ_i ∂_i f + ½ ∑_{i,j} a_{ij} ∂_{ij} f für glatte Funktionen f. Diffusionsprozesse haben meist die Markov-Eigenschaft und liefern Übergangsdichten p(t, x | s, y), deren zeitliche Entwicklung durch die Forward-Kolmogorow- bzw. Fokker-Planck-Gleichung ∂_t p = L^* p beschrieben wird, wobei L^* der Adjunktion von L entspricht.

Typische Beispiele sind Brown'sche Bewegung (μ = 0, σ konstant), geometrische Brownsche Bewegung (dX_t = μ X_t dt + σ X_t dW_t) und der Ornstern-Uhlenbeck-Prozess (OU-Prozess). Anwendungen finden sich in Physik (Partikeldiffusion), Finanzmathematik (Preisbildung und Risikomanagement), Biologie, Chemie und Ingenieurwesen. Zur numerischen Simulation verwendet man Verfahren wie Euler-Maruyama oder Milstein. Wichtige theoretische Fragestellungen betreffen Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, Langzeitverhalten und Stationärverteilungen.