Diffusionsdistanz

Diffusionsdistanz, im Englischen oft als diffusion distance bezeichnet, ist eine Metrik auf einem Datensatz, die aus einem Diffusionsprozess auf dem Datensatz abgeleitet wird. Sie spielt eine zentrale Rolle in der Diffusionsabbildung (diffusion maps) und dient dazu, die zugrunde liegende Geometrie der Daten zu erfassen. Die Idee ist, Datenpunkte über Wahrscheinlichkeiten eines zufälligen Spaziergangs auf einem graphbasierten Modell zu verbinden und aus der Diffusion zwischen Punkten eine Distanz abzuleiten.

Konstruktion und Interpretation: Man beginnt mit einer Ähnlichkeitsmatrix, typischerweise durch Kernel-Funktionen wie k(x,y) = exp(-||x-y||^2/ε) und normalisiert sie zu einer Markov-Kette P. Die Eigenwerte λ_j und Eigenfunktionen ψ_j von P liefern eine Diffusionsabbildung Φ_t(x) = (λ_1^t ψ_1(x), λ_2^t ψ_2(x), ..., λ_m^t ψ_m(x)). Die Diffusionsdistanz zwischen zwei Punkten x und y ist D_t(x,y) = ||Φ_t(x) - Φ_t(y)||_2. Oft werden nur die ersten m Komponenten verwendet, oder die Reihenfolge der Größen λ_j berücksichtigt, wobei D_t^2(x,y) = ∑_{j=1}^m λ_j^{2t} (ψ_j(x) - ψ_j(y))^2 gilt. Der Parameter t steuert den Diffusionszeitraum.

Eigenschaften und Anwendungen: D_t ist eine echten Metrik und spiegelt in variierten Skalen die Geometrie des zugrundeliegenden Mannigfaltigkeitsraums wider. Größeres t betont globale Struktur; kleineres t fokussiert lokale Nachbarschaften. Die Diffusionsdistanz wird häufig in der Dimensionalitätsreduktion, Clusteranalyse, Netzwerkanalyse und Rauschentwertung eingesetzt, da sie Robustheit gegenüber Rauschen und Unterschiede in Sampling-Dichte berücksichtigt.

Zusammenfassend dient die Diffusionsdistanz dazu, die intrinsische Datenstruktur durch längere Diffusionsprozesse zu erfassen und ist eng mit dem Konzept der Diffusionsabbildung verbunden.