DiagonalElementen

DiagonalElementen verwijzen in de lineaire algebra naar de elementen van een vierkante matrix die zich op de hoofddiagonaal bevinden: a11, a22, ..., ann. Voor een nxn-matrix bestaat deze diagonaal uit n diagonaalelementen. Elementen buiten de hoofddiagonaal worden meestal niet als diagonaalelementen beschouwd. Een verwant begrip is de anti-diagonaal, met elementen op de tegenoverliggende diagonaal (waar i+j = n+1).

Een illustratief voorbeeld is de matrix A = [ [a11, a12, a13], [a21, a22, a23], [a31, a32, a33] ]; de diagonaalelementen zijn a11, a22 en a33.

Belangrijke eigenschappen en toepassingen: de som van de diagonaalelementen heet de trace van de matrix, Tr(A), en deze eigenschap is invariant onder basisveranderingen (gelijkschakeling). Voor een diagonaalmatrix geldt dat de determinant het product is van de diagonaalelementen. In bredere zin kan de determinant van een algemene matrix worden berekend via eliminatie of Hessenberg-/triangulatie, terwijl de trace blijft gelijk onder dezelfde basisverandering.

Een matrix waarbij alleen diagonaalelementen mogelijk niet-nul zijn, wordt een diagonaalmatrix genoemd. Voor zo’n matrix zijn de diagonaalelementen tevens de eigenwaarden. In het algemeen komen eigenwaarden voor als men een matrix diagonaaliseert, waarbij men A = P D P^{-1} krijgt met D een diagonaalmatrix van de eigenwaarden.

DiagonalElementen spelen een centrale rol bij het oplossen van lineaire systemen, het berekenen van de trace en determinant, en bij concepten als diagonalizatie en eigenwaarden.