Deltametoden

Deltametoden är en metod inom sannolikhetsteori och statistik som används för att bestämma hur funktioner av estimatorer fördelar sig när urvalet blir stort. Den används främst för att få asymptotiska fördelningar och standardfel för transformationer av estimatorer.

Antag att θ_hat är en estimator av parameter θ och att sqrt(n)(θ_hat − θ) konvergerar i fördelning till en normalfördelning N(0, Σ) när n växer. Om g är en kontinuerligt differentiell funktion vid θ gäller att sqrt(n)(g(θ_hat) − g(θ)) konvergerar i fördelning till N(0, J_g(θ) Σ J_g(θ)^T), där J_g(θ) är Jacobianen (eller gradienten om θ är en vektor). För en enhetsfall (θ ∈ R) förenklas uttrycket till sqrt(n)(g(θ_hat) − g(θ)) → N(0, (g′(θ))^2 Σ). I fallet g: R^k → R^m används Jacobianen J_g(θ) och variance-covariance = J_g(θ) Σ J_g(θ)^T.

Användning

Deltametoden gör det möjligt att beräkna standardfel och konfidensintervall för komplexa estimatorer som är funktioner av enklare estimatorer, såsom kvoter, log-transformer eller andra transformationer av mått som redan är kända att vara asymptotiskt normala.

Exempel

Om θ_hat är ett medelvärde och g(θ) = log θ, och sqrt(n)(θ_hat − θ) → N(0, σ^2), så är sqrt(n)(log θ_hat − log θ) → N(0, (1/θ)^2 σ^2). För en kvot g(a,b) = a/b används gradienten [1/b, −a/b^2] för att få asymptotisk varians.