Dehnungstensor

Der Dehnungstensor, auch als Strain Tensor bezeichnet, ist ein zweiter Ordung-Tensor in der Kontinuummechanik, der die Verzerrung eines Materials beschreibt. Er ordnet jedem Materialpunkt eine Deformation von der Referenzkonfiguration zur aktuellen Konfiguration zu. Zentrale Größe ist der Deformationsgradient F = ∂χ/∂X, der die Verschiebung des Punktes X im Referenzzustand zu χ(X,t) im aktuellen Zustand erfasst.

Im Fall kleiner Verformungen wird der linearisierte Dehnungstensor verwendet: ε = 1/2 (∇u + ∇u^T), wobei u das Verschiebungsfeld ist. ε ist symmetrisch und liefert die lokalen Dehnungen sowie die Hauptdehnungen durch die Eigenwerte von ε. Dieser Tensor bildet die Grundlage linearer Elastizitätsmodelle wie σ = C:ε, wobei σ der Stress und C das Material- Elastizitätstensor ist.

Für große Verformungen ersetzt der Green-Lagrange-Dehnungs tensor E die einfachere Form: E = 1/2 (F^T F − I). E wird in der Referenzkonfiguration definiert und ist objektiv, das heißt invarianten gegen gleichzeitige Rotationen. E verknüpft Stress- und Dehnung in nichtlinearen Modellen (z. B. S = C:E oder andere Materialgesetze in der Finite-Elementmethode). Es existieren weitere Streckmaße wie der Almansi- bzw. Eulerian-Strain, die in verschiedenen Konfigurationen definiert sind, bleiben aber thematisch mit dem Dehnungstensor verwandt.

Eigenschaften des Dehnungstensors umfassen seine Symmetrie, die Möglichkeit, Hauptdehnungen und -richtungen durch Eigenwerte bzw. Eigenvektoren zu erhalten, sowie seine Rolle bei der Beschreibung von Verzerrungen statt reiner Verschiebungen. Der Dehnungstensor ist damit ein zentrales Werkzeug zur Charakterisierung mechanischer Belastung und Materialverhalten.