Borelmeetbaarheid

Borelmeetbaarheid is een concept uit de maat- en topologie van functies tussen topologische ruimten. Een functie f van een deels set X naar een topologische ruimte Y is Borelmeettbaar als de inverse afbeelding van elke Borelverzameling in Y weer Borel is in X. Daarbij is de Borel-sigma-algebra op een topologische ruimte de kleinst mogelijke sigma-algebra die alle open verzamelingen bevat. In de praktijk betekent dit dat f meetbaar is met respect voor de Borel-structuur van zowel Y als X.

Een vaak gebruikte specifikatie is wanneer Y de reële getallen R met de gebruikelijke topologie is. Dan is f Borelmeetbaar als de inverse afbeelding van elke open verzameling in R een Borelverzameling in X is. Evenzo zijn de preimages van gesloten verzamelingen, of van generieke Borel-verzamelingen, Borel in X. Een belangrijke equivalentie is dat f meetbaar is ten opzichte van de Borel-sigma-algebra op Y en de Borel-sigma-algebra op X.

Voorbeelden en eigenschappen: continue functies tussen topologische ruimten zijn altijd Borelmeetbaar. De identieke functie op een meetbare ruimte is Borelmeetbaar, en de indicatorfunctie van een Borel-verzameling is Borelmeetbaar wanneer de codomeinverzameling een Borel-sigma-algebra heeft. Compositie van Borelmeetbare functies is doorgaans weer Borelmeetbaar.

Betekenis: Borelmeetbaarheid vormt de basis voor kansrekening en statistiek, omdat random variables meestal als Borelmeetbare functies worden beschouwd. Het begrip verduidelijkt welke verzamelingen en functies passend gemeten en geanalyseerd kunnen worden binnen de Borel-structuur, met name in standaard-Borel-ruimten zoals R.