Blochsvektorn

Blochsvektorn är en geometrisk representation av tillståndet hos ett två-nivåsystem (qubit) inom kvantmekanik och kvantinformation. Tillståndet beskrivs av densitetsoperatorn ρ, som kan skrivas som ρ = 1/2 (I + r · σ), där σ = (σx, σy, σz) är Pauli-matriserna och r är Blochsvektorn, ett tredimensionellt vektorfält med komponenterna rx = Tr(ρ σx), ry = Tr(ρ σy) och rz = Tr(ρ σz).

Längden av Blochsvektorn återspeglar tillståndets puritet. För ett purfritt tillstånd har |r| = 1 och pointen ligger på ytan av Blochs sfär; för blandade tillstånd är |r| < 1 och punkten ligger inne i sfären. Somatiskt ger denna modell en enkel visualisering av kvanttillstånd: varje punkt på ytan representerar ett renat tillstånd, medan punkter inuti sfären representerar blandningar av renare tillstånd.

Tidsutveckling och rotationer. Under enhetsutveckling U = exp(-i H t / ħ) ändras Blochsvektorn enligt r → R r, där R är en rotation i SO(3) och U σ U† = R σ. Om Hamiltonianen är H = (ħ/2) ω n · σ, roter r kring axeln n med vinkel ω t. Detta gör Blochsferden särskilt användbar för att beskriva precession av en spinn-1/2 och kontrollen av qubits i kvantberäkningar.

Relaxation och mätning. Dekohesion och relaxation leds ofta av tidskonstanterna T1 och T2, vilket gör att Blochsvektorn sakta krymper mot vissa statiska riktningar. Bloch-ekvationerna beskriver dessa processer och precession i kombination. För kvantinformation används mätningar av ⟨σx⟩, ⟨σy⟩ och ⟨σz⟩ för att rekonstruera ρ (tillståndstomografi).

Generalisationer utanför två nivåer. För d-nivåsystem används en generaliserad Bloch-vektor baserad på Gell-Mann-matriserna, där ρ uttrycks som ρ = (1/d) I + (1/2) ∑i r_i λ_i. Dessa vektorer beskriver tillstånd i större Hilbertrum men saknar den enkla geometrin som finns för qubits.