BlochSphäre

Die Bloch-Sphäre ist eine geometrische Darstellung des Zustands eines Qubits, also eines Zweistufen-Quantensystems. In der Pauli-Darstellung lässt sich jeder Zustand durch einen Bloch-Vektor r ∈ R^3 mit Länge |r| ≤ 1 beschreiben, sodass der Dichteoperator ρ als ρ = 1/2 (I + r · σ) geschrieben wird, wobei σ = (σ_x, σ_y, σ_z) die Pauli-Matrizen sind. Die Komponenten von r entsprechen den Erwartungswerten ⟨σ_i⟩: r_i = Tr(ρ σ_i).

Pure Zustände liegen auf der Oberseite der Kugel (|r| = 1); gemischte Zustände befinden sich innerhalb des Bloch-Körpers. Ein reiner Zustand lässt sich auch parametrisieren durch ein Phasenpaar (θ, φ): |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ} sin(θ/2)|1⟩, wobei r_x = sinθ cosφ, r_y = sinθ sinφ, r_z = cosθ. Allgemein gilt: ρ = 1/2 (I + r · σ).

Unitäre Operationen entsprechen Rotationen der Bloch-Vektor-Ansicht: Für einen Qubit-Gate U ∈ SU(2) gilt ρ → UρU†, während der Bloch-Vektor r → R r eine Drehung R ∈ SO(3) erfahren kann. Messungen entlang einer Achse n liefern Wahrscheinlichkeiten p(+|n) = (1 + r · n)/2.

Abweichungen durch Rauschen oder Decoherence schrumpfen den Bloch-Vektor: r → η r (0 ≤ η ≤ 1) oder allgemein in Kanälen, wodurch die Zustandsmischung erhöht wird. Die Bloch-Sphäre bietet eine anschauliche Visualisierung einzelner Qubits; sie lässt sich nicht direkt auf höhere Dimensionen erweitern, ist dort aber uneingeschränkt nützlich. Historisch wurde die Darstellung von Felix Bloch eingeführt und ist heute ein Standardwerkzeug in der Quanteninformation.