Binomialentwicklung

Binomialentwicklung bezeichnet das Verfahren, Potenzen eines Binoms der Form (a + b)^n in eine Summe von Termen mit festen Koeffizienten zu zerlegen. Für ganzzahliges n ≥ 0 gilt die Binomialformel: (a + b)^n = Sum_{k=0}^n binom(n, k) a^{n-k} b^k. Die Binomialkoeffizienten binom(n, k) sind n!, dividiert durch k! (n−k)!, und sie zählen die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus einer Menge von n auszuwählen.

Die Koeffizienten erscheinen als zentrale Struktur in der Expansion und entsprechen den Einträgen des Pascalschen Dreiecks. Dadurch lassen sich die Koeffizienten schnell bestimmen und die Entwicklung grafisch nachvollziehen. Die Binomialentwicklung findet Anwendung in Algebra, beim Ausmultiplizieren von Potenzen und in der Kombinatorik, wo die Koeffizienten als Anzahl unterschiedlicher Untergruppen interpretiert werden.

Für reelle oder komplexe Exponenten verallgemeinert sich die Binomialentwicklung durch den binomialen Satz (der generelle binomische Satz). Für α ∈ R gilt (1 + x)^α = Sum_{k=0}^∞ binom(α, k) x^k mit konvergenter Reihe für |x| < 1, wobei binom(α, k) = α(α−1)…(α−k+1)/k!. Diese Reihen ist unendliche Erweiterung des endlichen Satzes und wird in Analysis und Taylorreihen genutzt.

Zu den Anwendungen gehören die schnelle Berechnung von Potenzen, Wahrscheinlichkeitsmodelle wie die Binomialverteilung, Approximationen und die Theorie der Reihenentwicklungen.