Bildprobleme
Bildprobleme ist ein Begriff aus der Mathematik für Aufgaben, in denen die Bildmenge einer Funktion bestimmt werden soll. Dazu wird eine Funktion f definiert als eine Abbildung von einer Definitionsmenge A in eine Zielmenge B. Die Bildmenge von f wird als f[A] oder als Bild von A bezeichnet und besteht aus allen Werten y, die sich als y = f(x) für ein x aus A ergeben. Die Bildmenge ist immer eine Teilmenge von B. Für eine Teilmenge C ⊆ A gilt f[C] = { f(x) | x ∈ C }.
Wichtige Unterscheidungen betreffen Codomain und Bild. Der Codomain (Zielbereich) B ist die Menge, in der die
Typische Aufgaben bei Bildproblemen umfassen:
- Bestimmen der Bildmenge einer gegebenen Funktion mit einem angegebenen Definitionsbereich.
- Bestimmen des Bildes einer Teilmenge des Definitionsbereichs.
- Überprüfen, ob eine Funktion surjektiv ist, also ob das Bild den gesamten Codomain ausfüllt.
- Grafische oder analytische Bestimmung der Bildmenge bei Polynom-, trigonometrischen oder rationellen Funktionen.
- Bestimmung von Bildern unter Transformationen oder bei Parametrisierungen.
- f(x) = x^2, A = R, B = R. Das Bild f[R] ist [0, ∞).
- f(x) = sin x, A = R, B = R. Das Bild f[R] ist [-1, 1].
- f(x) = x^3 - x, A = R. Das Bild ist ganz R (die Funktion ist surjektiv).
- f(x) = 1/x, A = R \ {0}, B = R. Das Bild ist R \ {0}.
Bildprobleme helfen, das Verhältnis zwischen Definitionsbereich, Bildmenge und Codomain systematisch zu verstehen.
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