Bifurkationsanalys

Bifurkationsanalys är studiet av hur lösningar till dynamiska system ändras när systemparametrar förändras. Den fokuserar på jämvikter och periodiska lösningar samt hur deras antal och stabilitet förändras vid kritiska värden av parametrar, så kallade bifurkationspunkter.

Man skiljer mellan lokala bifurkationer i kontinuerliga system (differentialekvationer) och i diskreta tidssteg (kartor). Vanliga lokala bifurkationer i kontinuerliga system är saddle-node, transkritisk och pitchfork samt Hopf-bifurkation när en stabil jämvikt ger upphov till oscillationer. Inom diskreta system förekommer exempelvis flip (period-doubling) bifurkationer.

Analysen innebär att hitta jämviktspunkter genom f(x, μ)=0 och undersöka stabilitet via Jacobianen J=∂f/∂x vid jämvikten. Bifurkation uppträder när ett eller flera egenvärden av J passerar kritiska värden när μ ändras; vid saddle-node när egenvärdet passerar noll, vid Hopf när ett komplex konjugerat par korsar imaginära axeln och en intakt jämvikt blir oscillerande.

Praktiskt används bifurkationsanalys för att förstå hur system beter sig när parametrar varierar och för att förutsäga övergångar till oscillationer, kaos eller abrupta skiften. Metoder inkluderar teoretisk klassificering, normalformsanalys och numerisk fortsättning för att spåra bifurkationspunkter i parameterutrymmet. Vanliga programvaror är AUTO, MATCONT och andra beräkningsverktyg.

Analysen har breda tillämpningar inom fysik, biologi, teknik och ekonomi där dynamiska modeller beskriver beteenden och övergångar mellan tillstånd.