Betragsfunktion

Die Betragsfunktion, in der Analysis oft als Betrag oder Absolutwert bezeichnet, ordnet jeder reellen Zahl x den Betrag |x| zu. Der Betrag ist definiert als |x| = x, wenn x ≥ 0, und |x| = −x, wenn x < 0. Damit ist |x| immer nicht negativ und für alle x gilt |x| ≥ 0.

Domain und Wertebereich: Die Betragsfunktion ist von den reellen Zahlen R in R definiert und hat den Wertebereich [0, ∞). Graphisch entsteht ein V-förmiges Muster mit Scheitelpunkt am Ursprung. Sie ist gerade, das heißt |−x| = |x|, und besitzt eine Symmetrie zur y-Achse.

Eigenschaften: Die Funktion ist auf dem Intervall [0, ∞) monoton wachsend und auf (−∞, 0] monoton fallend. Sie erfüllt die Lipschitz-Bedingung mit Konstante 1: Für alle x, y gilt | |x| − |y| | ≤ |x − y|. Die Ableitung existiert für x ≠ 0 und ist +1 für x > 0 bzw. −1 für x < 0; am Punkt x = 0 existiert keine Ableitung.

Anwendungen: Der Betrag dient zur Messung von Abständen und zur Bearbeitung von Gleichungen und Ungleichungen. Beispiele sind |−3| = 3, |5| = 5 und die Äquivalenz |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a. Allgemein lässt sich |x| als eine spezielle Form einer Abstands- bzw. Normfunktion betrachten und ist eine Basis für weitere Konzepte wie Dreiecksungleichung und Distanzdefinitionen.

Varianten: In der komplexen Ebene bezeichnet der Betrag (Modul) einer komplexen Zahl z = a + bi dessen Länge √(a^2 + b^2).