Begrenzungsfläche

Begrenzungsfläche, im Englischen Boundary Surface, bezeichnet in der Geometrie die Grenzmenge einer Teilmenge Ω des euklidischen Raums R^n. Ein Punkt x gehört zur Begrenzungsfläche ∂Ω, wenn jede Umgebung von x sowohl Teilmengen von Ω als auch deren Komplement enthält. In gut untersuchten Fällen ist ∂Ω eine (n−1)-dimensionale Mannigfaltigkeit; in drei Dimensionen spricht man von einer Oberfläche, die das Gebiet Ω vom Außenraum trennt.

Beispiele: Die Begrenzungsfläche der Einheitskugel in R^3 ist die Sphäre S^2; die Begrenzungsfläche des Einheitskreises (Disk) in R^2 ist der Rand des Kreises. Die Eigenschaft der Grenze wird durch Randregularität beschrieben: Bei glatten Grenzen (z. B. C^1- oder C^k-Grenzen) besitzt ∂Ω eine Orientierung und einen Normalenvektor. Teilweise glatte oder polygonale Grenzen bezeichnet man als piecewise-smooth.

Beziehung zu Innenbereich und Abschluss: ∂Ω lässt sich definieren als ∂Ω = closure(Ω) \ interior(Ω). Wichtige Sätze wie das Gaußsche Divergenzsatz verbinden Integrale über Ω mit Integralen über ∂Ω: ∫Ω div F dx = ∮∂Ω F·n dS. Die Orientierung erfolgt durch den äußeren Normalenvektor n.

Anwendungen: Begrenzungsflächen spielen eine zentrale Rolle in Physik und Ingenieurwesen, z. B. bei Randbedingungen für partielle Differentialgleichungen, in der Strömungs- und Festkörpermechanik sowie in der Computergraphik zur Modellierung und Visualisierung. In der Geometrie sind Fragen nach der Regularität, Glattheit und Maßtheorie von Begrenzungsflächen von grundlegender Bedeutung.