3Sphäre

Die 3-Sphäre, im Deutschen oft als 3-Sphäre oder S^3 bezeichnet, ist die Menge aller Punkte in dem vierdimensionalen euklidischen Raum R^4, deren Abstand vom Ursprung gleich 1 ist. Als Rand des 4-Balls B^4 ist sie eine kompakte, zusammenhängende und glatte dreidimensionale Mannigfaltigkeit.

Sie trägt eine natürliche Lie-Gruppe-Struktur, da sie mit den Einheitsquaternionen identisch ist; formal ist S^3 identisch mit der Gruppe SU(2). Die Operation ergibt sich aus der Quaternionenmultiplikation. Diese Struktur macht S^3 zu einer kompakten, einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe.

Mit der Standardmetrik aus R^4 hat S^3 eine konstanze positive Krümmung. Die Geodäten sind große Kreise, und der Raum S^3 lässt sich durch die Hopf-Fibration S^3 -> S^2 mit kreisförmigen Fasern beschreiben.

Topologisch besitzt S^3 die Homologien H_0 ≅ Z, H_3 ≅ Z, während alle anderen Gruppen null sind; der fundamentalgruppe π1(S^3) ist trivial und die Euler-Charakteristik χ(S^3) beträgt 0. Das Volumen des S^3 mit Radius R beträgt 2π^2 R^3; für den Einheitsradius ist es 2π^2.

Parametrisierung: Jedes Element von S^3 kann als Einheitsquaternion q = a + bi + cj + dk mit a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1 geschrieben werden. Diese Darstellung liefert auch eine Verbindung zu Rotationen in 3D, da unit quaternions Rotationen darstellen.

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