fundamentalgruppe

Die Fundamentalgruppe π1(X, x0) ist ein algebraisches Invariant der Topologie eines topologischen Raums X mit festem Basispunkt x0. Sie entsteht aus den Homotopieklassen aller Schleifen γ: [0,1] → X mit γ(0) = γ(1) = x0; zwei Schleifen gelten als gleich, wenn sie miteinander homotop sind, wobei die Endpunkte fest bleiben. Die Verknüpfung zweier Schleifen erfolgt durch Konkatination, also das aneinanderreihen der Wege. Das neutrale Element ist die konstante Schleife, das Inverse die umgekehrte Schleife. So erhält man eine Gruppe, deren Struktur die Raumtopologie von X widerspiegelt.

Ist X pfadzusammenhängend, lässt sich π1(X, x0) für verschiedene Basispunkte x0 durch Pfadübergänge miteinander verbinden; die Gruppen π1(X, x0) und π1(X, x1) sind dann isomorph, aber nur eindeutig bis zu einer Basispunktänderung. Die Fundamentalgruppe ist zudem ein Homotopie-Invariant: Homotop äquivalente Räume haben isomorphe Fundamentalgruppen.

Beispiele: π1(S^1, x0) ≅ Z, die Gruppe der ganzen Zahlen; π1(S^2, x0) ist trivial; π1(T^2, x0) ≅ Z × Z. Allgemein ist π1 trivial, wenn X einfach zusammenhängend ist (jede Schleife lässt sich stetig zum Basispunkt deformieren).

Funktorielle Perspektive und Anwendungen: Ein stetiger Abbildungsweg f: (X, x0) → (Y, y0) induziert eine Gruppenhomomorphie f* von π1(X, x0) nach π1(Y, y0). In der algebraischen Topologie liefert die Fundamentalgruppe wichtige Informationen über die Struktur von Abwechslungen, die Existenz von Überlagerungen und deren Klassifikation: Unter geeigneten Bedingungen besitzt X eine universelle Überdeckung, deren Gruppe der Blatttransformationen isomorph zu π1(X, x0) ist. Die Fundamentalgruppe dient daher als zentrales Werkzeug zur Unterscheidung von Raums und zur Untersuchung ihrer Überlagerungstheorie.