fundamentalgruppe
Die Fundamentalgruppe π1(X, x0) ist ein algebraisches Invariant der Topologie eines topologischen Raums X mit festem Basispunkt x0. Sie entsteht aus den Homotopieklassen aller Schleifen γ: [0,1] → X mit γ(0) = γ(1) = x0; zwei Schleifen gelten als gleich, wenn sie miteinander homotop sind, wobei die Endpunkte fest bleiben. Die Verknüpfung zweier Schleifen erfolgt durch Konkatination, also das aneinanderreihen der Wege. Das neutrale Element ist die konstante Schleife, das Inverse die umgekehrte Schleife. So erhält man eine Gruppe, deren Struktur die Raumtopologie von X widerspiegelt.
Ist X pfadzusammenhängend, lässt sich π1(X, x0) für verschiedene Basispunkte x0 durch Pfadübergänge miteinander verbinden; die
Beispiele: π1(S^1, x0) ≅ Z, die Gruppe der ganzen Zahlen; π1(S^2, x0) ist trivial; π1(T^2, x0) ≅ Z
Funktorielle Perspektive und Anwendungen: Ein stetiger Abbildungsweg f: (X, x0) → (Y, y0) induziert eine Gruppenhomomorphie f*