Einheitsquaternion

Einheitsquaternion ist ein Quaternion mit Norm 1. Ein Quaternion q hat die Form q = w + xi + yj + zk mit reellen Zahlen w, x, y, z und der Norm ||q|| = sqrt(w^2 + x^2 + y^2 + z^2). Einheitsquaternions liegen auf der 3-dimensionalen Sphäre S^3 und repräsentieren Rotationen im dreidimensionalen Raum.

Eine Rotation um eine Achse u = (u_x, u_y, u_z) mit dem Winkel theta wird durch das Einheitsquaternion q = (cos(theta/2), sin(theta/2) u) beschrieben, d. h. q = (cos(theta/2), u_x sin(theta/2), u_y sin(theta/2), u_z sin(theta/2)). Die Orientierung eines Vektors v im Raum lässt sich durch die Quaterniokonjugation v' = q v q^{-1} realisieren, wobei Vektor v als rein reines Quaternion (0, v) geschrieben wird.

Da q und -q dieselbe Rotation darstellen, ist die Repräsentation durch Einheitsquaternions nicht eindeutig. Die Menge der Einheitsquaternions bildet unter Multiplikation eine Gruppe und ist damit isomorph zu SU(2); sie dient als doppelte Abdeckung von SO(3) (den Rotationen im dreidimensionalen Raum).

Aus q lässt sich eine 3×3-Rotationsmatrix R ableiten; umgekehrt entspricht jede Rotationsmatrix in SO(3) einer Äquivalenzklasse von zwei Einheitsquaternions (q und -q). Praktisch finden Einheitsquaternions breite Anwendung in der Computergrafik, Robotik, Raumfahrt und Animation, weil sie Rotationen stabil, interpolierbar und numerisch robust darstellen. Beliebt ist die SLERP-Methode (spherical linear interpolation) zur gleichmäßigen Interpolation zwischen zwei Einheitsquaternions.