3Drotaatioita

3Drotaatioita tarkoittaa kolmiulotteisen kappaleen suuntautumisen muuttamista kiertämällä kappaletta ympäri. Näin syntyvät kaikki kolmiulotteiset orientaatiot, ja niitä käytetään muun muassa tietokonegrafiikassa sekä mekaniikassa. Rotaatiot muodostavat SO(3)-ryhmän, joka kuvaa kaikki mahdolliset kiertymät kolmiulotteisessa tilassa.

Rotaatiot voidaan esittää useilla tavoilla. Yleisimmät esitykset ovat 3x3-rotatiematriisi R, jolla R^T R = I ja det(R) = 1; aksis–kulmaesitys, jossa kierto tapahtuu kulmalla θ yksikköakselin u ympäri; sekä kvaternionit, unitaariset neliluvut q = (w, x, y, z). Euler-kierrot ovat toinen tapa, mutta kiertojen järjestys vaikuttaa tulokseen.

Rodriguesin kaavalla aksis–kulmaesityksestä saadaan rotaatiomatriisi: R = I cosθ + (1−cosθ) u u^T + sinθ [u]_×. Kvaternionit kuvaavat rotatioita siten, että q = (cos(θ/2), sin(θ/2) u). Rotaatio voidaan toteuttaa q v q^{-1} -toimituksella tai vastaavasta 3x3-matriisiksi; kvaternionit mahdollistavat nopean yhdistämisen, tasaisen interpoloinnin ja välttävät gimbal lock -ilmiön.

Euler-kierroilla käytetään usein yaw-pitch-roll -järjestystä, mutta kiertymien järjestyksen valinta on kriittinen: sama lopputulos voi olla eri järjestyksessä. Lisäksi Euler-kierroilla esiintyy gimbal-tilojen riski ja konversioepäjohdonmukaisuudet.

SO(3) on Lie-ryhmä, jolla on luonnollinen geometria kolmiulotteisessa tilassa. Yleisimmät interpolointimenetelmät ovat slerp kvaternionien välillä, joka tuottaa tasaiset siirtymät; vaihtoehtoja ovat esimerkiksi nlerp ja squad.

Käyttökohteita ovat muun muassa tietokonegrafiikka, robotiikka, ilmailu sekä virtuaali- ja lisätyn todellisuuden sovellukset sekä 3D-mallinnus. Numerinen vakaus vaatii säännöllistä normalisointia ja konversioiden huolellista hallintaa.