verzameltheorie

Verzameltheorie is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met verzamelingen, objecten die als bouwstenen voor wiskundige constructies dienen. De membership-relatie a ∈ A is centraal. Verzamelingstheorie vormt de basis voor getallen, functies en talrijke wiskundige theorieën.

Historisch ontstond verzameltheorie uit de paradoxen van het begin van de 20e eeuw, zoals Russell's paradox. Cantor ontwikkelde cruciale ideeën over grootte en oneindigheid, wat leidde tot de behoefte aan een formeel axiomasysteem. De meest gebruikte basis is Zermelo-Fraenkel set theory met het keuze-axiom, afgekort ZFC. Belangrijke axioma's zijn extensionaliteit, bestaan van de lege verzameling, paring, unie, machtverzameling, oneindigheid, vervanging en het specificatieschema; het keuze-axiom kan worden toegevoegd.

Daarnaast bestaan alternatieven zoals NBG (von Neumann–Bernays–Gödel) en MK (Morse–Kuratowski) die onderscheid maken tussen verzamelingen en klassen, en zo de theorie beter beheersbaar maken in sommige contexten.

Een belangrijk onderzoeksgebied is de onafhankelijkheid van stellingen zoals de Continuümhypothese (CH). Gödel toonde dat CH zonder tegenstrijdigheden mogelijk is bij V=L, Cohen toonde in 1963 dat CH onafhankelijk is van ZFC. Verder bestuderen wiskundigen grote kardinalen en hun invloed op de consistentie van systemen. Deze resultaten geven inzicht in de grenzen van formele wiskunde.

Verzameltheorie levert een noodzakelijk fundament voor de wiskunde en speelt een sleutelrol in de logica, de fundamenten van wiskunde en aanverwante gebieden zoals de theoretische informatica.