verschilquotiënt

Het verschilquotiënt van een functie f op een punt x met een stap h is gedefinieerd als (f(x+h) - f(x)) / h, met h ≠ 0. Het geeft de gemiddelde verandering van f over het interval [x, x+h] en kan worden gezien als de helling van de verbindingslijn door de punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)).

Als h naar 0 gaat en f differentieerbaar is in x, dan convergeert het verschilquotiënt naar de afgeleide van f in x, geschreven als f'(x). Met andere woorden, de afgeleide kan worden opgevat als de limiet van de verschilquotiënt bij infinitesimale stapgroottes.

Een bekend voorbeeld is f(x) = x^2. Het verschilquotiënt is ((x+h)^2 - x^2) / h = (2xh + h^2) / h = 2x + h, en de limiet bij h → 0 is 2x, wat de afgeleide van x^2 is.

Er bestaan varianten van de verschilquotiënt, zoals de symmetrische verschilquotiënt (f(x+h) - f(x-h)) / (2h), die ook naar f'(x) convergeert onder differentiabiliteitsvoorwaarden. Ook zijn er one-sided verschilquotiënten zoals (f(x) - f(x-h)) / h, die nuttig zijn bij functies met onevenwichtig domein of bij grenzen.

Toepassingen van de verschilquotiënt liggen vooral in de definitie van de afgeleide, in analyse van veranderingen en in numerieke differentiatie, waar men afgeleiden benadert voor functies die niet analytisch uitdrukbaar zijn of enkel via discrete data zijn gegeven.