verschiloperator

Een verschiloperator is een lineaire operator die wordt gebruikt in discrete wiskunde en numerieke analyse om de verandering tussen opeenvolgende waarden van een sequentie of een functie met domein of index op de gehele getallen te meten. De meest gebruikte vorm is de voorwaartse verschiloperator Δ, gedefinieerd als Δ a_n = a_{n+1} - a_n. Daarnaast bestaat er de achterwaartse verschiloperator ∇, met ∇ a_n = a_n - a_{n-1}. Een centrale verschiloperator wordt soms gebruikt als δ a_n = (a_{n+1} - a_{n-1})/2, wat een middellijnwaarde oplevert voor benaderingen van afgeleiden.

Eigenschappen: de verschiloperator is lineair en shift-invariant; het kan worden geschreven als Δ = E - I, waarbij E de verschuivingsoperator is (E a_n = a_{n+1}). Constanten liggen in de kernel van Δ ( Δ c = 0 ). Voor polynomen verlaagt Δ de graad met één; bijvoorbeeld Δ n^2 = 2n + 1. Door Δ te herhalen krijg je hogere ordegolffies: Δ^k a_n geeft de k-de verschilterm. Er is een verband met binomiale waarden: Δ^k a_n = sum_{j=0}^k (-1)^{k-j} C(k, j) a_{n+j}.

Voorbeelden: als a_n = n^2, dan Δ a_n = (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1. Als a_n = sin n, dan Δ a_n = sin(n+1) - sin n, wat een maat voor de verandering van de Golf van de sequentie geeft.

Toepassingen: verschiloperatoren worden gebruikt in finite difference-methoden voor numerieke differentiatie en het oplossen van verschilvergelijkingen, tijdreeksanalyse en discrete calculus. De inverse van Δ is een sommatie- of discrete integraaloperator, tot een constante bepaald door randvoorwaarden.