variatsioonikalkulus

Variatsioonikalkulus on matemaatikavaldkond, mis tegeleb funktsioonide funktsionaalide ekstremumide (maksimumide või miinimumide) leidmisega. Funktsionaal on funktsioon, mis võtab sisendiks teise funktsiooni ja annab väljundiks reaalarvu. Erinevalt tavalisest kalkulusest, kus otsitakse funktsiooni argumenti, mille korral funktsiooni väärtus on ekstreemne, otsib variatsioonikalkulus funktsiooni ise, mille korral antud funktsionaali väärtus on ekstreemne.

Peamine tööriist variatsioonikalkuluses on Euleri-Lagrange'i võrrand. See võrrand võimaldab leida funktsiooni, mis muudab antud funktsionaali ekstreemseks. Kui meil on funktsionaal kujul I[y] = ∫[a, b] F(x, y(x), y'(x)) dx, kus y(x) on otsitav funktsioon ja y'(x) on selle tuletis, siis Euleri-Lagrange'i võrrandiks on ∂F/∂y - d/dx(∂F/∂y') = 0. Selle võrrandi lahendid annavad kandidaatfunktsioonid, mis võivad olla antud funktsionaali ekstreemumiks.

Variatsioonikalkuluse rakendused on laialdased füüsikas, inseneriteaduses ja majandusteaduses. Näiteks klassikalises mehaanikas kirjeldab minimaalse töö printsiip (d'Alemberti printsiip) liikumist läbi funktsionaali minimeerimise. Optikas peegeldub see Fermat' printsiibis, mis väidab, et valgus levib mööda teed, mis nõuab kõige vähem aega. Samuti kasutatakse seda geodeetiliste joonte leidmiseks pindadel, mis on lühimad jooned kahe punkti vahel.