variatsioonikalkuluses

Variatsioonikalkulus on matemaatika haru, mis tegeleb funktsioonide funktsionaalide ekstremumide leidmisega. Funktsionaal on funktsioon, mis võtab sisendiks teise funktsiooni ja annab väljundiks arvu. Näiteks pindala või pikkuse funktsionaal. Variatsioonikalkuluse peamine eesmärk on leida funktsioon, mis minimeerib või maksimeerib antud funktsionaali.

Peamine tööriist variatsioonikalkuluses on Euleri-Lagrange'i võrrand. See võrrand on tuletisprotsessi generalisatsioon funktsionaalidele. Kui meil on funktsionaal kujul I[y] = ∫ F(x, y, y') dx, kus y' on y tuletis x suhtes, siis Euleri-Lagrange'i võrrand võimaldab meil leida funktsiooni y(x), mis teeb funktsionaali I[y] ekstreemseks. Võrrand on ∂F/∂y - d/dx(∂F/∂y') = 0.

Variatsioonikalkuluse rakendused on laiad. Füüsikas kasutatakse seda looduse põhiliste seaduste, näiteks Newtoni seaduste ja Hamiltoni printsiipli, formuleerimiseks. Optikas ilmneb see Fermat' printsiibis, mille kohaselt valgus liigub punktide vahel mööda teed, mis võtab minimaalse aja. Inseneriteaduses kasutatakse seda struktuuride optimeerimiseks ja juhtimissüsteemide projekteerimiseks. Samuti on see oluline matemaatilistes probleemides, nagu geodeetiliste joonte leidmine pindadel. Variatsioonikalkuluse põhimõtted moodustavad paljude kaasaegsete teaduse ja tehnika valdkondade aluse.